即付年金

日期：2024-01-07 03:00:34 頻道：財稅快訊閱讀：28

即付年金是指在某個確定的時間點開始，每年末支付一定金額的年金，直到一定期限結束。假設即付年金的年金金額為A，期限為n年，利率為i，現值為PV，終值為FV。則即付年金的終值公式如下：

（圖片來源網絡，侵刪）

FV = A * ((1+i)^n - 1) / i

下面是終值公式的推導過程：

（圖片來源網絡，侵刪）

首先，假設第一次年金支付的時間為t=1年，此時即付年金的現值為PV，根據復利公式，有：

PV = A / (1+i)^1 + A / (1+i)^2 + ... + A / (1+i)^n

將上式兩邊同乘以(1+i)，得：

PV * (1+i) = A / (1+i)^0 + A / (1+i)^1 + ... + A / (1+i)^(n-1) + A / (1+i)^n

將上式兩邊相減，得：

PV * (1+i) PV = A / (1+i)^n A / (1+i)^0

化簡上式，得：

* i = A * ((1+i)^n - 1)

移項，：

FV = PV * (+i)^n + A * ((1+in - 1) / i

由即付年金的現值PV為0，所以終值式為：

FV = * ((+i)^n - 1) / i

因此，即付年金的終值公式推導完成。

1、年金終值（F/A,i,n）推導過程：

1、以復利的方式計算，這一步過程是推導的基礎，年金終值公式正是在這個基礎上化解出來的：

F=A*(1+i)^3+A*(1+i)^2+A*(1+i)^1+A=A*【(1+i)^3+(1+i)^2+(1+i)^1+1】

=10*【(1+5%)^3+(1+5%)^2+(1+5%)^1+1】

2、【(1+i)^3+(1+i)^2+(1+i)^1+1】是一個等比數列，且公比q=（1+i）=(1+5%)，所以數列和Sn=(1-q^n)/(1-q)，將q替換成（1+i），則Sn=[1-(1+i)^n]/[1-(1+i)]=[(1+i)^n-1]/i

3、結合1和2，則F=A*[(1+i)^n-1]/i=10*[(1+5%)^4-1]/5%，反之A=F* i/[(1+i)^n-1]。

意思：年金的四種類型。

第一、從第一期開始，在每期期末收付的款項叫普通年金

普通年金是比較常見的一種年金，通常是在每一期的期末收付的款項稱為普通年金，在一些大型企業中存在這種普通年金，普通年金也叫做后付年金。

第二、從第一期開始，在每期期初收付的款項叫即付年金

即付年金與普通年金剛好相反，通常是在每一期的期初收付的款項稱為即付年金，即付年金也稱為預付年金，即付年金每期收付的金額是相同的。

第三、從第一期之后才開始，在每期期末收付的款項叫遞延年金

如果年金的收付不是在第一期就開始，而是在第一期之后才開始收付的款項叫做遞延年金。遞延年金的收付時間是在每一期的期末，收付的時間與普通年金相似，因此也是普通年金的特殊形式。

第四、從第一期開始，無限期在每期期末收付的款項叫永續年金

從第一期期末開始收付的款項，同時收付的期限是無限循環的，這類款項叫做永續年金。理論上來說，這類年金會一直持續下去，目前最典型的永續年金就是諾貝爾獎金，固定的期限都會支出這筆獎金，無限循環著。

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